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miércoles, 3 de octubre de 2012

Operaciones con Conjuntos

 

 

 

 

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Operaciones con Conjuntos

INDICE:

  1. Unión de Conjuntos
  2. Intersección de Conjuntos
  3. Diferencia de Conjuntos
  4. Complemento de un Conjunto
  5. Resolvamos Algunos Ejercicios Propuestos

 1pxin1

 

En Algunos Navegadores los Símbolos Se verán Diferentes

 

Ï = “se lee no pertenece a”

o  también se escribe así:

simbolo

 

 

 

 

1. Unión de conjuntos:

Dado dos conjuntos A y B, se dice “A unión B”, al conjunto formado por todo los elementos que pertenecen A o a B.

Se nota: A  B

 

En símbolos:

A  B= {x/x  A ó X  B}

 

En gráficos:

 

union

Ejemplo:

Sea el conjunto  A={1,2,3,4}    B={3,4,5,6}

 

Solución:

 

A  B={1,2,3,4,5,6}

 

 

Graficamos:

 

 

operaciones con union

 

Notas:

A  = A cualquiera sea el conjunto A

A  A= cualquiera sea el conjunto A

 

 

 

2. Intersección de Conjuntos:

Dado los conjuntos  A y B, denominaremos “A intersección B” a todo los elementos que se repiten al mismo tiempo

 

En símbolos:

A  B= {x/x  A y x  B}

 

Si A y B no tienen elementos en común, es decir si A∩B= ∅, entonces diremos que AyB son Conjuntos Disjuntos.

 

En gráficos:

 

 

interseccion

 

 

Ejemplo:

Sean los conjuntos:

 

  • A={20,30,40,60,80}                                  
  • B={40,50,60,70,80}

 

Solución:

A  B={40,60,80}

 

Graficamos:

 

 

operaciones con interseccion

 

Notas:

A   =  cualquiera sea el conjunto A

A  A= A cualquiera sea el conjunto A

 

 

 

Propiedades para las operaciones de Unión e Intersección

Propiedades

Unión

Intersección

Asociativa

A  (B  C)= (A  B)  C

A  (B  C)= (A  B)  C

Absorción

A (A  B)= A

A  (A  B)= A

Conmutativa

A  B= B  A

A  B= B  A

Distributiva

A  (B  C)= (A  B)  (A  C)

A  (B  C)= (A  B)  (A  C)

Idempotencia

A  A= A

A  A= A

Complementariedad

A  A= U

A  A= 

 

 

Propiedades Análogas:

A  = A
A 
 = 

Elemento Nulo

A  U= UA  U= A

Elemento Universal

(A   B)= A  B(A  B)= A  B

Leyes de Morgan

 

 

3. Diferencia de conjuntos:

 

Se llama diferencia a los conjuntos A y B, escrito A-B, a todo los elementos que pertenecen a A  y no pertenecen a B

 

En símbolos:

A-B={x : x  A  y  x Ï B}

 

 

En Gráficos:

 

diferencia

 

Ejemplo:

Sea el conjunto     

A={p,e,r,a}        B={v,e,r,d}

 

Solución:

A-B={p,a}

 

Graficamos:

 

 

operaciones con diferencia

 

 

4. Complemento de un conjunto:

 

El complemento de un conjunto A, escrito A, son todos los elementos del universo, que no pertenecen a A

 

En símbolos:

A={x/x  U  y  X Ï A}

 

En Gráficos:

 

complemento

 

Ejemplo:

 

U={1,2,3,4,5,6,7,8}         

 

A={1,4,7}

 

Solución:

 

A={2,3,5,6,8}

 

Graficamos:

 

operaciones con complementos

 

 

5. Resolver los siguientes ejercicios planteados:

 

Dado los conjuntos:

 

  • U={1,2,3,4,5,6,7,8}
  • R={4,6,7}
  • T={2,3,4,5}
  • P={6,7,8}

Hallar:

a) (T  P)

b) (R  T)

c) (T)

d) (R-T)

 

 

Solución 1:

a) (T  P)

 

Viendo en Símbolos:

{x/x  T  ó  x  P}

 

Entonces:

{2,3,4,5}  {6,7,8}

 

Respuesta:

(T  P)= {2,3,4,5,6,7,8}

 

 

Solución 2:

b) (R  T)

 

Viendo en Símbolos:

{x/x  R  y  x  T}

 

Entonces:

{4,6,7}  {2,3,4,5}

 

Respuesta:

(R  T)={4}

 

 

Solución 3:

c) (T)

 

Viendo en Símbolos:

{x/x  U  y  X Ï T}

 

Entonces:

U={1,2,3,4,5,6,7,8}

T={2,3,4,5}

 

Respuesta:

T={1,6,7,8}

 

 

Solución 4:

(R-T)

 

Resolviendo:

(R-T)={6,7}

 

Resolviendo:

(R-T)={1,2,3,4,5,8}

 

Respuesta:

(R-T)={1,2,3,4,5,8}

 

 

 

 

Siguiente ejercicio:

 

Una fábrica tiene 2000 trabajadores, de los cuales 1000 son ayudantes, 500 son operadores y 150 ayudantes y operadores.

 

Preguntas:

 

a) ¿Cuántos trabajadores son ayudantes, pero no son operadores?

b) ¿Cuántos trabajadores son operadores pero no ayudantes?

c) ¿Cuántos trabajadores, no son ayudantes, ni operadores?

 

Solución:

Hacemos el diagrama de Venn

 

diagrama

 

 

Respuesta:

a) 850 trabajadores

b) 350 trabajadores

c) 650 trabajadores


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